\chapter{三体问题与N体问题}

\section{N体问题}
N体问题是指求解已知初始位置、速度和质量的多个物体在经典力学情况下的后续运动。
\subsection{数学公式}
天体力学中的普遍情况下的多体问题是一组已知初始值的常微分方程组，即已知初始值

\begin{align}
	q_j(0),&\dot{q}_j(0),j=1,\ldots,n
\end{align}

当j不等于k时，$q_j(0)\ne q_k(0)$，解出这个二阶常微分方程组

\begin{align}
	m_j\ddot{q}_j&=G\sum_{k\nej}^{n}\frac{m_jm_k(q_j-q_k)}{|q_j-q_k|^3},j=1,\ldots,n\label{NBodiesProblemEQ}
\end{align}

其中$m_1,m_2,\ldots,m_n$是代表n个质点质量的常量。$q_j,q_k$是以时间t为变量描述质点位置的三维矢量函数。约翰·伯努利已经完全解决了n=2的情况。

三体问题在数学上就是这样九个方程的二阶常微分方程组再加上相应的初始条件，共18阶。H.布伦斯和H.庞加莱曾证明n体问题只有10个运动积分，即3个动量积分，3个关于质心运动的积分，3个动量矩积分和1个能量积分，而且它们都是代数式。应用这10个积分可将三体问题的18阶方程降低到8阶，再用“消去时间法”降低到7阶，又用“消去节线法”降低到6阶。如为平面三体问题则可降为4阶。

而N体问题的方程也是类似的一个$N^2$个方程的二阶常微分方程组。

当N=1时，单体问题是个平凡的方程。单个质点的运动轨迹只能是直线匀速运动。当N=2的时候(二体问题)，问题就不那么简单了。但是方程组仍然可以化简成一个不太难解的方程，任何优秀的理科大学生大概都能轻易解出来。简单来说这时两个质点的相对位置始终在一个圆锥曲线上，也就是说如果我们站在这两个质点系的质心看质点，那么质点的轨道一定是个椭圆，抛物线，双曲线的一支或者直线。二体问题又叫开普勒(JohannesKepler)问题，它是在1710年被瑞士数学家约翰伯努利(JohannBernoulli)首先解决的。N体问题的提出大概可以追溯到上千年前，但是这一问题的第一个完整的数学描述(象使用上面这样的微分方程)是出现在牛顿的“自然哲学的数学原理”(PhilosophiaeNaturalisPrinicipiaMathematica，1687年出版)一书中。在他的著作中，牛顿成功地运用微积分证明了开普勒的天文学三大定律，但是奇怪的是在他的书里并没有给出二体问题的解，尽管这两者是紧密相关的，并且人们相信牛顿当时完全有能力自己给出二体问题的解。

至于三体问题或者更一般的N体问题(N大于二)，在被提出以后的二百年里，被十八和十九世纪几乎所有著名的数学家都尝试过，但是问题的进展是微乎其微的。尽管在失败的尝试中微分方程的理论被不断地发展成为一门更成熟的数学分支，但是对于这些发展的源头-----N体问题，人们还是知道的太少了。

一般考虑:解决N体问题

在有关多体问题($n\ge3$)的物理文学作品里有时会发现像“解决多体问题是不可能的”这样的描述。n体问题包含6n个变量，因为每个质点需要3个空间坐标和3个分速度表示。
\subsection{二体问题}
假如两个物体的共同质心是静止的，每一个物体沿着一条圆锥曲线运行,而这条圆锥曲线的焦点与这个系统的质心重合（对于双曲线，是与焦点同侧的那一支）。

假如这两个物体被限制在一起，它们的运动轨迹都为椭圆；这时的势能（经常为一负值）相对于它们离得很远情况在绝对值上大于这个系统总动能（这些物体在它们坐标轴的旋转能这里未计算在内）。

假如它们正在远离，它们将一同沿着抛物线或双曲线运动。

对于双曲线的情况，势能的绝对值小于这个系统的总动能；即两种能量的和为正值。

对于抛物线的情况，两种能量的和为0。当两物体相距很远时，它们的相对速度趋于0。

注：抛物线轨道的能量为0的事实由当物体相距无限远时，重力势能为0这一假定产生的。系统在无限分离的状态下可以被认为具有任意值（例如42焦）的势能。那一种状态被假定具有0势能（即0焦）。
\subsection{三体问题}
当时的多体问题现在知道得很少。n=3的情况研究得最多，且很多结论可以推广到更大的n。最先尝试解决三体问题是从量化的、寻找显式解的角度。

1767年欧拉找到了共线周期轨道,其中任意质量的三个物体振荡在旋转线上，这3个解被称为L1,L2,L3。

1772年拉格朗日发现了一些周期解，存在周期性的扩张和收缩的旋转等边三角形的顶点上。这些解引领了关于中心结构的研究，其中（k为大于零的常数）。

三体问题是很令人费解的。它的解可能是混沌的。Charles Delaunay 曾经在地-月-日系统做出了主要研究。他曾于1860年和1867年分别出版了长达900页的关于这个问题的著作。
